Descripción de la función de transferencia de filtro de paso alto de primer orden

Este artículo continúa nuestra discusión sobre las funciones de transferencia de dominio s y su papel en el diseño y análisis de filtros analógicos.

Si ha leído los artículos anteriores de esta serie (en funciones de transferencia de paso bajo y [[poles and zeros]]), ya está familiarizado con varios conceptos importantes relacionados con el análisis del dominio s y la teoría del filtro analógico. Revisemos brevemente:

• Podemos generar una expresión para el comportamiento de entrada a salida de un filtro de paso bajo analizando el circuito en el dominio s.
• La V del circuito._AFUERA/ V_EN expresión es la función de transferencia del filtro, y si comparamos esta expresión con la forma estandarizada, podemos determinar rápidamente dos parámetros críticos, a saber, la frecuencia de corte y la ganancia máxima.
• Una función de transferencia puede escribirse como un polinomio numerador dividido por un polinomio denominador. Las raíces del polinomio numerador son los ceros de la función de transferencia, y las raíces del polinomio denominador son los polos de la función de transferencia. Otra forma de decir esto es que los ceros de la función de transferencia dan como resultado T (s) = 0 y los polos de la función de transferencia dan como resultado T (s) → ∞.
• Los sondeos hacen que la pendiente de la respuesta de la magnitud del diagrama de Bode del sistema disminuya en 20 dB / década; los ceros hacen que la pendiente aumente en 20 dB / década.
• Las encuestas contribuyen con –90 ° de cambio de fase, y los ceros contribuyen con + 90 ° de cambio de fase.

La función de transferencia de paso alto

Un circuito de paso alto RC de primer orden se implementa de la siguiente manera:

$$ frac {V_ {OUT}} {V_ {IN}} = frac {R} { frac {1} {sC} + R} = frac {sRC} {1 + sRC} = frac {s } {s + frac {1} {RC}} $$

El comportamiento de entrada a salida de un filtro de paso alto de primer orden se puede describir mediante la siguiente función de transferencia estandarizada:

$$ T (s) _ {HP} = frac {a_ {1} s} {s + omega _ {O}} $$

Comparemos esto con la expresión de paso bajo correspondiente:

$$ T (s) _ {LP} = frac {a_ {O}} {s + omega _ {O}} $$

Como puedes ver, los denominadores son los mismos. En ambos casos, tenemos un polo en s = –ω_O, lo que significa que tanto el filtro de paso bajo como el filtro de paso alto tendrán las siguientes características:

• La respuesta de magnitud en ω_O será 3 dB por debajo de la respuesta de magnitud máxima; con un filtro pasivo, la respuesta de magnitud máxima es la unidad, en cuyo caso el valor en_O es –3 dB.
• El valor absoluto del desplazamiento de fase del circuito en_O Será de 45 °.

Por lo tanto, la respuesta en_O En estos dos circuitos es muy similar. Sin embargo, la respuesta a frecuencias por encima y por debajo de_O está influenciado por el numerador de T (s), y la diferencia entre los dos numeradores es lo que hace que un filtro de paso bajo sea muy diferente de un filtro de paso alto.

El efecto del numerador

El numerador de T (s) HP nos dice dos cosas: la pendiente inicial de la respuesta de magnitud será de +20 dB / década, y la magnitud máxima será una₁. Echemos un vistazo más de cerca a estas dos características.

Pendiente inicial

Como ahora tenemos la variable s en el numerador, tendremos un cero de función de transferencia en cualquier valor de s que haga que el numerador sea igual a cero. En el caso de un filtro de paso alto de primer orden, todo el numerador se multiplica por s, por lo que el cero es s = 0.

¿Cómo afecta un cero en s = 0 la magnitud y la respuesta de fase de un circuito real? Primero, consideremos la magnitud. Sabemos que un cero hará que la pendiente de la curva del diagrama de Bode aumente en 20 dB / década. Sin embargo, este aumento se produce en ω = 0 rad / s (o ƒ = 0 Hz), y aquí está la captura: el eje horizontal de la gráfica de Bode nunca llega a 0 Hz. Es un eje logarítmico, lo que significa que la frecuencia disminuye de 10 Hz a 1 Hz, a 0.1 Hz, a 0.01 Hz, y así sucesivamente. Nunca llega a 0 Hz. En consecuencia, nunca vemos la frecuencia de esquina del cero en ω = 0 rad / s.

En cambio, la curva de magnitud simplemente comienza con una pendiente de +20 dB / década. La magnitud continúa aumentando hasta la frecuencia del polo; el polo reduce la pendiente en 20 dB / década, lo que resulta en una respuesta que se vuelve plana (es decir, pendiente = 0 dB / década) y permanece plana a medida que ω aumenta hacia el infinito.

Ganancia máxima

Todo lo que necesitamos es un poco de manipulación matemática para ver que la ganancia máxima de un filtro de paso alto sea igual a una₁. De la forma general de la respuesta de magnitud del filtro de paso alto, sabemos que la ganancia no puede disminuir a medida que ω aumenta hacia el infinito. Por lo tanto, podemos encontrar la ganancia máxima al evaluar T (s) para s → ∞. En el denominador, tenemos s + ω_O. Algo que se agrega al infinito es infinito, por lo que en este caso, podemos simplificar T (s) de la siguiente manera:

$$ T (s → ∞) = frac {a_ {1} s} {s} $$

Las s en el numerador y las s en el denominador se cancelan, de modo que

$$ T (s → ∞) = a_ {1} $$

Respuesta de fase de filtro de paso alto

Como se mencionó anteriormente, un cero contribuye con + 90 ° de cambio de fase a la respuesta de fase de un sistema, con + 45 ° de cambio de fase en la frecuencia cero. El desplazamiento de fase alcanza + 90 ° a una frecuencia que es una década por encima de la frecuencia cero, pero un filtro de paso alto tiene un cero en ω = 0 rad / s, y no puede especificar una frecuencia que sea una década por encima de 0 rad / s: nuevamente, estamos tratando con una escala logarítmica, lo que significa que el eje horizontal nunca alcanzará 0 rad / s, ni nunca alcanzará una frecuencia que sea una década por encima de 0 rad / s (una frecuencia de este tipo) realmente no existe: 0 rad / s × 10 = 0 rad / s).

El resultado de todo esto es que la respuesta de fase del filtro de paso alto tiene un valor inicial de + 90 °. En otras palabras, todas las señales de entrada de baja frecuencia cambiarán en + 90 °, y luego el cambio de fase comenzará a disminuir a medida que la frecuencia de entrada se aproxime a la frecuencia del polo:

Conclusión

Hemos examinado la función de transferencia estándar para un filtro de paso alto de primer orden, y hemos visto cómo esta función de transferencia conduce a las características de la respuesta de fase y magnitud de paso alto.

En el siguiente artículo, veremos que la función de transferencia de paso bajo y la función de transferencia de paso alto se pueden combinar en una función de transferencia de primer orden general, y también consideraremos brevemente el filtro de paso completo de primer orden .